概算のすすめ !!
計算が必要な推論･議論を進めるとき､精密な計算をせずとも大雑把な概算で十分｡実際に調査できないような量を､いくつかの手掛りを基に､論理的に推論して､
短時間で概算する(｢フェルミ推定｣ Wikipedia) リーズナブル･シンキング｡
⇒ ｢推し量る勘定と云ふは､相応しき大要を簡便に見出すこと､と見つけたり !! ｣
A. 概算には概数を用いる
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概数(およその数)は､精密な数より､わかり易く･記憶し易く･計算し易くなる｡ |
| 2 | 精密な数を概数にするには､上位2～3桁目を四捨五入して上位1～2桁を残す｡ |
B. 概算のメリット
| 1 | 概算では､数をわかり易い概数にして用いるため､計算(暗算)がし易い｡ |
| 2 | 億･兆･京の大数､ﾏｲｸﾛ･ﾅﾉ･ﾋﾟｺの小数を含んでも､数量感覚が得られる｡ |
| 3 | 手間がかかる計算に時間･コストをかけずに､大体の予想が立てられる｡ |
| 4 | 情報不足でも､手掛りを基に､概算できる論理を組立てることができる｡ |
| 5 | 数量を含んでいる主張･議論を､組立てた概算の論理でチェックできる｡ |
C. 概算の方法
| 桁 数 | 概算では､数は桁数が重要なので､次のような､10の指数表記がわかり易い｡ 1万(104)＝百(102)×百(102) 1億(108)＝1万(104)×1万(104) 1兆(1012)＝1億(108)×1万(104) 1京(1016)＝1兆(1012)×1万(104)＝1億(108)×1億(108) 1ﾍﾟﾀ(1015)＝1ﾃﾗ(1012)×1ｷﾛ(103)＝1ｷﾞｶﾞ(109)×1ﾒｶﾞ(106) 1ﾃﾗ(1012)＝1ｷﾞｶﾞ(109)×1ｷﾛ(103)＝1ﾒｶﾞ(106)×1ﾒｶﾞ(106) 1ｷﾞｶﾞ(109)＝1ﾒｶﾞ(106)×1ｷﾛ(103) 1ﾒｶﾞ(106)＝1ｷﾛ(103)×1ｷﾛ(103) 1ｷﾛ(103)＝1ﾍｸﾄ(102)×1ﾃﾞｶ(101) 1ﾐﾘ(10-3)＝1ﾃﾞｼ(10-1)×1ｾﾝﾁ(10-2) 1ﾏｲｸﾛ(10-6)＝1ﾐﾘ(10-3)×1ﾐﾘ(10-3) 1ﾅﾉ(10-9)＝1ﾏｲｸﾛ(10-6)×1ﾐﾘ(10-3) 1ﾋﾟｺ(10-12)＝1ﾅﾉ(10-9)×1ﾐﾘ(10-3)＝1ﾏｲｸﾛ(10-6)×1ﾏｲｸﾛ(10-6) |
| 計 算 | 概算では､計算の結果も､上位1～2桁の概数でよいから､加減乗除の計算では､ 上位の方から大雑把に計算することができる｡ しかし､厳密さを求めるなら､｢暗算のコツを学ぶ｣ 暗算のすべて を参照｡ |
| 課 題 の 解 法 | 数量を求める課題は､次のステップ①～④に沿って解く｡ ①課題を解く手掛り(事象)としては､何がわかればよいかを論理的に考える｡ ②その手掛り(事象)を､どのように組合わせて計算するかの計算式を決める｡ ③各手掛り(事象)について､その数値の情報を得る｡ 情報不足で得られない数値は､上限～下限の仮定の数値を推論して決める｡ ④上記③の数値を､上記②の計算式に代入して概算する｡ ⑤上記④の概算結果について､その数値の規模･単位等をチェックする｡ |
D. 概算の例
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｢ドレイクの方程式｣ Wikipedia
銀河系宇宙内で､人類と通信する可能性のある地球外文明の個数 Nを算出する ものとして､米国の天文学者フランク･ドレイクが､1961年に提案した計算式｡ N＝R*×fp×ne×fl×fi×fc×L＝10個 パラメータは､次のように仮定｡ R* : 10個/年 (銀河系宇宙の生涯を通じて､年間に誕生する恒星の個数) fp : 0.5 (銀河系宇宙内の恒星が､惑星を持つ割合) ne : 2 (惑星を持つ恒星が､生命誕生可能な惑星を持つ割合) fl : 1 (生命誕生可能な惑星で､生命が誕生する割合) fi : 0.01 (生命が誕生した惑星で､知的文明が獲得される割合) fc : 0.01 (獲得された知的文明が､通信可能となる割合) L : 10,000年 (通信可能となった知的文明が存続する年数) 私見では､生命誕生可能な惑星は､太陽系をモデルにすれば､ne: 1<2､更に､ 通信は､知的文明に必須として､fc: 1>0.01にして､N＝500>10個と思う｡ |
| 2 | ｢フェルミ問題を解く｣ 東京大学情報理工学系研究科電子情報学専攻伊庭研究室
【例1】 東京にいるピアノ調律師の人数 Pは､どのくらい？ P＝(N/n)×(p×b)/(m×y)＝600人 パラメータは､次のように仮定｡ N : 1,200万人 (東京都の人口) n : 4人/家 (1家族の人数) p : 0.2台/家 (1家庭にあるピアノ台数) b : 0.5回/(年･台) (ピアノ1台の年間の調律回数) m : 2回/(日･人) (ピアノ調律師1人の1日当りの調律回数＝ピアノ台数) y : 250日/年 (年間の労働日数) 私見では､調律不要があるため､p: 0.02<0.2にして､P＝60<600人と思う｡ 【例2】 地球に衝突した小惑星の大きさは､どのくらい？ 約6,500万年前､小惑星が衝突したときに生じた塵が地球表面を覆ったため､ 太陽光が遮られて､植物･動物が大きな被害を受け､恐竜は絶滅したとされる｡ ある仮設では､この小惑星の質量の20％が､地球表面を0.02g/cm2の一様に 覆ったとしているので､小惑星を､一辺の長さLの立方体で近似して計算する｡ 小惑星の質量の20％＝L3×d×0.2＝地球の表面積×飛散密度＝4πr2×da L＝((4πr2×da)/(d×0.2))1/3≒6km パラメータは､次のように仮定｡ r : 6,000km＝6億(108)cm (地球の半径) d : 2g/cm3 (小惑星の密度≒地球上の普通の岩石の密度) da : 0.02g/cm2 (小惑星が塵となって地球表面に飛散した密度) 私見では､地球表面に飛散した塵は､すべてが小惑星由来のものか？ と思う｡ 【例3】 人体にある細胞数は､どのくらい？ 人体の体積V1を､半径r､高さhの円柱で近似し､人体の細胞1個の体積V2を､ 一辺の長さDの立方体で近似して､人体の細胞数C＝V1/V2により計算する｡ C＝(πr2×h)/D3≒100兆＝1014個 パラメータは､次のように仮定｡ r : 0.15m (人体の半径) h : 1.8m (人体の高さ) D : 10-5m (人体の細胞の一辺の長さ) 私見では､人体内の空洞を考慮しても､オーダーに変わりがないように思う｡ |
E. 参考情報
| 日 本 |
国土面積: 約38万(104)km2 (平地 約30％､ 山地 約70％) 人口: 約1.2億(108)人 (2050年 約1億人)､ 世帯数: 約5,500万(104)戸 ＧＤＰ: 約500兆(1012)円､ 平均寿命: 約84歳 生涯未婚率: 約15％､ 既婚率: 約43％ 出生率: 約1.4人､ 年間出生数: 約100万(104)人 労働力人口: 約6,000万(104)人､ 平均年収: 約430万(104)円 給与所得者数: 約5,000万(104)人､ 非正規雇用者数: 約2,000万(104)人 大企業数: 約1万(104)社､ 中小企業数: 約400万(104)社 小学校数: 約2万(104)校､ 中学校数: 約1万(104)校､ 高校数: 約5,000校 専門学校数: 約3,300校､ 短期大学数: 約300校､ 大学数: 約750校 地方自治体数: 約50(都道府県)､ 約800(市)､ 約750(町)､ 約200(村) |
| 世 界 |
地球の大きさ: 約6,400km(半径)､ 約4万(104)km(円周) 地球の表面積: 約5億(108)km2 (陸地 約30％､ 海洋 約70％) 世界の人口: 約77億(108)人 (2050年 約97億人) 米国の人口: 約3.3億(108)人 (2050年 約4億人) 米国のＧＤＰ: 約20兆(1012)ﾄﾞﾙ (約3,000兆円) 中国の人口: 約14億(108)人 (2050年 約14億人) 中国のＧＤＰ: 約13兆(1012)ﾄﾞﾙ (約2,000兆円) インドの人口: 約13億(108)人 (2050年 約15億人) インドのＧＤＰ: 約2.7兆(1012)ﾄﾞﾙ (約400兆円) ロシアの人口: 約1.4億(108)人 (2050年 約1.3億人) ロシアのＧＤＰ: 約1.7兆(1012)ﾄﾞﾙ (約250兆円) |
| 生 命 |
生物の出現: 約40億(108)年前(原核生物)､ 約25億(108)年前(真核生物) 約15億(108)年前(多細胞生物)､ 約1億(108)年前(霊長類) 人類の進化: 約400万(104)年前(猿人)､ 約200万(104)年前(原人) 約50万(104)年前(旧人)､ 約20万(104)年前(新人) 人類の元素: O(約65％)､C(約18％)､H(約10％)､N(約3％)､Ca(約1.5％) P(約1％)､S(約0.25％)､K(約0.2％)､Na・Cl(約0.15％) 等 (これらは､宇宙･地球･無生物･生物等を通じて循環再利用される) 人類の細胞: 約5－120(平均15)μm/個､ 約40兆(1012)個/人 |
| 宇 宙 |
宇宙の年齢: 約140億(108)年、直径: 約900億(108)光年 天の川銀河の年齢: 約130億(108)年、直径: 約10万(104)光年 太陽系の年齢: 約46億(108)年、直径: 約3光年＝約30兆(1012)km 地球の年齢: 約46億(108)年、太陽周りの公転軌道直径: 約3億(108)km 月の年齢: 約46億(108)年、地球周りの公転軌道直径: 約77万(104)km |
| 単 位 |
長さ: 1m＝100cm＝103mm＝106μm＝109nm＝1010Å､ 1km＝103m 容積: 1L＝10dL＝103mL＝103cc＝103cm3､ 1m3＝103L 質量: 1kg＝103g､ 1t＝103kg 為替: 1円≒(1/150)ﾄﾞﾙ≒(1/160)ﾕｰﾛ≒(1/20)元≒(1/1.5)ﾙｰﾌﾞﾙ |
| 公 式 |
円周: 円周率×直径＝2×円周率×半径＝2πr 円の面積: 1/2×円周×半径＝円周率×(半径)2＝πr2 球の表面積: 4×円の面積＝4×円周率×(半径)2＝4πr2 球の体積: 1/3×球の表面積×半径＝4/3×円周率×(半径)3＝4/3πr3 密度(単位体積当りの質量): (質量)/(体積) 速度(単位時間に進む長さ): (長さ)/(時間) |
令和 2 年 (西暦 2020 年) 9 月 20 日
令和 5 年 (西暦 2023 年) 9 月 20 日 改訂 倭地倭人 球磨コレノリ
